Nació en Berriosuso el 14 de abril de 1869, hijo de José Cruz Osácar Zabalza y Manuela Echalecu. Sus
abuelos paternos fueron Fermín y Josefa. Se casó con Adelina Andrés Galindo, natural de Cariñena, con quien tuvo tres hijos. Se avecindaron en la capital en 1920, concretamente en la calle Dos de Mayo, nº 5.

Tipógrafo de profesión y vendedor ambulante. Afiliado al PSOE y UGT, estuvo toda su vida muy volcado en las actividades políticas, desde sus inicios en Zaragoza como militante del Partido Republicano Radical Socialista. Fue presidente de la sociedad de tipógrafos, integrada en la Federación Local de Sociedades Obreras de Pamplona y de la Federación Socialista de Navarra. Candidato del PSOE a las elecciones generales de 1931 y 1933.
Defendía la línea más dura y obrerista de Largo Caballero dentro del partido, tal como se le podía seguir en las páginas de ¡¡Trabajadores!!, periódico de la UGT. En 1933 y 1935, tuvo encontronazos con la justicia por «injurias y desacato a la autoridad».
También destacó como periodista desde temprana edad, fundando, colaborando y dirigiendo diversos semanarios: el donostiarra Thun-Thun; El Eco de Navarra; el satírico El Irunsheme; El Ideal de Aragón; El Progreso; y sobretodo el semanario ¡¡Trabajadores!! que dirigió durante todo el período republicano.
Tiburcio solía intervenir frecuentemente en los mítines que se daban por los pueblos, destacando por sus posturas radicales. Se ha señalado su acalorada intervención en un mitin dado en Milagro en 1932, sobre la esperada Reforma Agraria, donde, según el delegado gubernativo, dijo que:

No esperéis que os traigan las mieses a casa, ahí las tenéis, id a por ellas…, terminó diciendo que no se apuraran, que pronto cambiaría esto, que la bandera tricolor (la republicana) sería pisoteada y puesta en su lugar la bandera roja que es la que arreglará todo y que ellos la defenderían».

Estuvo preso en la cárcel de Pamplona desde el 19 de julio hasta el 6 de agosto de 1936, día en que fue asesinado en Ibero. Una hija de José Roa (también fusilado y enterrado en las Tres Cruces) dio detalles sobre el enterramiento de Tiburcio, muy cerca del de los de Larraga:

«Mi padre está solo. Como a dos metros, están los de Larraga, en una fosa común que yo la tengo presente como si la estuviera viendo. Allí hay 20. Un poco más atrás, pero que han echau mucha tierra encima, está Tiburcio Osacar, con otro»

. Según la documentación del «Fondo Irujo», fue fusilado tras ser obligado a dar sepultura a cuatro compañeros.

Galo Vierge, que coincidió con Osácar en la cárcel, nos lo describe como un activista fuera de serie, aún en los ambientes más extremos:

«Todos los días al bajar al patio echaba de menos algún rostro conocido que había emprendido, obligado violentamente, el camino de la eternidad. Entre los muchos desaparecidos figuraba Tiburcio Osácar, destacado militante del PSOE de Pamplona, hombre inquieto e instruido, fundador del semanario de la UGT ¡¡Trabajadores!! que gozaba de mucha difusión entre la clase obrera de Navarra. Tiburcio, hombre de ideas, en los días que estuvo preso también fundó un periódico clandestino llamado El Patio, hecho primorosamente a mano, con una caligrafía maravillosa, donde se plasmaba el pensamiento de los presos que narraban la triste realidad de sus penas y dolores. El periódico pasaba de mano en mano, procurando evitar las de los confidentes que, entremezclados con los reclusos, aguzaban el oído. Una vez leído el ejemplar por la mayoría de los compañeros, era destruido por su propietario para evitar que cayese en manos de los carceleros. Solamente salieron dos números, no le dio tiempo a Tiburcio para editar más, ya que fue fusilado a primeros de agosto. (…) Yo publiqué en uno de
los dos una sencilla canción titulada El cantar del preso».